אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות ד ר אסף חסון, אוניברסיטת בן גוריון בנגב

אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות ד ר אסף חסון, אוניברסיטת בן גוריון בנגב יובל אדם Young man, in mathematics you don t understand things. You just get used to them. - John von Neumann תוכן עניינים 2 פרולוג.................................... 1 2................................... הגדרות 2 4............................... תחשיב היחסים 3 6 קומפקטיות ומסננים............................. 4 8 מסננים והלמה של צורן........................... 5 9................................... מכפלות 6 11 משפט Los והוכחת קומפקטיות....................... 7 14................................... עקביות 8 16........................... מערכות היסק ויכיחות 9 19........................... מערכות היסק המשך 10 20............................... מכונות טיורינג 11 22 מכונות טיורינג המשך........................... 12 25.............................. פונקציות חשיבות 13 27......................... פונקציות חשיבות המשך 14 29................................... הצפנות 15 32................................... חשיבות 16 35.............................. מניה רקורסיבית 17 37 פונקציות יציגות............................... 18 39 פונקציות יציגות............................... 19 42..................... הוכחת משפטי אי השלמות של גדל 20 45............................... תורת רקורסיה 21 46 תורת רקורסיה המשך........................... 22 48 תורת רקורסיה המשך........................... 23 50 תורת רקורסיה המשך........................... 24 1

1 פרולוג מספור הקטעים תואם למספור ההרצאות. (נשאיר כתרגיל לקורא החרוץ להבין מה זה אומר על פרק זה...) נא להתחשב בסביבה. נא להדפיס מסמך זה רק אם הדבר הכרחי, ורק את טווח העמודים הנדרש. תודה לצביקה סקופינסקי על סיכומים של חלק מהשיעורים. הערות/טענות/בקשות כתובת המייל שלי היא yuv.adm ולאחר מכן gmail.com שאו ברכה, עלו והצליחו. 2 הגדרות יהי M מבנה לשפה מסדר ראשון s L, השמה לM ו t שם עצם. אז הערך של t ב M עבור ההשמה s הוא: אם t קבוע אישי c אז V al M (t, s) = c M אם t משתנה אישי x אז s(x) V al M (t, s) = אם ) n t = f(t 1,..., t אז s)) V al M (t, s) = f M (V al M (t 1, s),..., V al M (t n, יהיו, L M, ו s כנ ל ותהי ϕ נוסחה ב L אז ערך האמת של TRUE) או (FALSE של ϕ בM עבור ההשמה s מוגדר באינדוקציה באופן הבא: אם ϕ נוסחה אטומית, כלומר ϕ מהצורה ) n R(t 1,..., t עבור הסימן יחס N מקומי R ושמות עצם t 1,..., t n אזי V al M (ϕ, s) = T RUE V al M (t 1, s),..., V al M (t n, s) R M. אם ϕ = ψ עבור נוסחה ψ אז V al M (ϕ, s) = T RUE V al M (ψ, s) = F ALSE באופן דומה עבור יתר הקשרים הלוגיים אם ϕ = ( x)ψ (כלומר הנוסחה היא מסוג קיים איקס וההמשך הוא נוסחה קטנה יותר) אז [ x ] V al M (ϕ, s) = T RUE ( a M)V al M (ψ, s ) = T RUE a ] [ s הינה ההשמה אשר נותנת לכל משתנה אישי y שאינו x את הערך x כאשר a s(y) ולמשתנה האישי x את הערך a (כלומר רק מחליפה את x). הגדרה שקולה: { [ x ] } V al M (ϕ, s) = T RUE max V al M (ψ, s ) : a M a כאשר נגדיר שרירותית F. < T 2

אם ϕ = ( x)ψ אז V al M (ϕ, s) = [ x ] T RUE ( a M)V al M (ψ, s ) = T RUE a הגדרה שקולה: V al M (ϕ, s) = { [ x ] } T RUE min V al M (ψ, s ) : a M a. הערות: 1. בכל שפה לתחשיב פסוקים נניח שיש סימן יחס דו מקומי מיוחס אשר תמיד מתפרש כיחס השוויון 2. כמוסכמה: אם אומרים שL שפה לתחשיב הפסוקים בד כ לא נציין במפורש את סימן השוויון למרות שבמובלת נניח שהוא שם 3. בקורס הזה לא ניתקל בכך, אבל ניתן לעבוד בתחשיב ללא שוויון. יש משפטים שיותר קל להוכיח בתחשיב שכזה. בכל מקרה, תמיד אפשר לעבור בין תחשיב עם שוויון לתחשיב ללא שוויון וחזרה. תהי L שפה לתחשיב הפסוקים ותהי Γ קבוצת נוסחאות בL (לאו דווקא סופית). נאמר שΓ ספיקה (satisfiable) אם קיים מבנה M לשפה L וקיימת השמה s לM כך שRUE V al M (ϕ, s) = T לכל.ϕ Γ נסמן (M, s) = Γ (לפעמים נשמיט את ההשמה s מן הסימונים). דוגמאות: {R} L = ו {(( x Γ = {( x) R(x, x), ( x y)(r(x, y) R(y, זו קבוצת פסוקים ספיקה כי לכל גרף G (לא מכוון) נגדיר מבנה M G לL באופן הבא: R M G יהיה העולם של M G יהיה (G) V (קבוצת הקודקודים של G) והיחס E(G) (קבוצת הקשתות). } = 3 T אז T 3 ספיקה כי כל { x 1, x 2, x 3, x 4 i,j (x i = x j ) ו L = { } קבוצה בת פחות מ 4 איברים מספקת אותה. DLO = x (x, x), x, y(x < y (y < x)), x, y, z(x < y y < z x < z), x, y(x y x < y y < x), x, y z(x < y x < z y) {<} = L ו אשר הינו dense linear order אז מתקיים.(Q, ) = DLO אם L ו Γ כנ ל ו,M) (s = Γ אז נאמר שM מודל של Γ. תורה זו קבוצה ספיקה של פסוקים. פסוק בשפה L זו נוסחה ללא משתנים חופשיים 3

המשתנים החופשיים בשם עצם t, נסמנם ree(t) F, הם אוסף כל המשתנים המופיעים ב t..f ree(ϕ) = n אם ϕ נוסחה אטומית ) n R(t 1,..., t אז t i i=1 אם ϕ = ϕ 1 ϕ 2 (קשר לוגי דו מקומי כלשהו) אז ) 1 F ree(ϕ) = F ree(ϕ F ree(ϕ 2 ) אם ϕ = ( x)ψ או ϕ = ( x)ψ אז ree(ψ) F ree(ϕ) = F אם ree(ψ) x / F ו F ree(ϕ) = F ree(ψ)\x אחרת. 3 תחשיב היחסים לפסוק (שאין לו משתנים חופשיים פר הגדרה) יש ערך אמת ברגע שנקבע המבנה, ללא כל תלות בהשמה נוסחה ϕ תקרא אמיתית לוגית אם לכל מבנה M (לשפה של ϕ) ולכל השמה s עבור.V al M (ϕ, s) = T RUE מתקיים M דוגמה: אם P סימן יחס חד מקומי אז (x) P (x) P אמיתי לוגית. מדוע? יהי Mמבנה עבור } P} וs השמה עבור M. V al M (P (x) P (x), s) = t (V al M (P (x), s), V al M ( P (x), s)) = t (V al M (P (x), s), t (V al M (P (x), s)) = t (Q, t (Q)) = T RUE דוגמה: נניח ש( ϕ(x נוסחה עם משתנה חופשי x ו c קבוע אישי שאינו מופיע ב( ϕ(x. אז ( x)ϕ(x) ϕ(c) אמיתי לוגית (אם ϕ(c) אמיתי לוגית ייתכן שזה לא נדרש). דוגמה: ((x) x(p (x) P אז לפי הגדרת האמת ולפי הדוגמה הראשונה זהו פסוק אמיתי לוגית. מדוע זו אינה טאוטולוגיה? באינדוקציה על היצירה של ψ (הטאוטולוגיה של תחשיב הפסוקים) מראים: אם ψ ψ = אז ) k ψ(ϕ 1,..., ϕ k ) = ψ (ϕ 1,..., ϕ אם ψ = ψ 1 ψ 2 עבור קשר לוגי דו מקומי אז ψ(ϕ 1,..., ϕ k ) = ψ 1 (ϕ 1,..., ϕ k ) ψ 2 (ϕ 1,..., ϕ k ). אבל ((x) ( x)(p (x) P לפי משפט הקריאה היחידה אינו מהצורה א או ב לכן אם הוא מתקבל ע י החלפה כנ ל מפסוק ψ של תחשיב הפסוקים, ψ הוא בהכרח פסוק יסודי. אבל פסוק יסודי (משתנה פסוקי) אינו טאוטולוגיה. 4

טאוטולוגיה (הגדרה שקולה לשאלה 5): נוסחה ϕהיא טאוטולוגיה של תחשיב היחסים אם קיימת טאוטולוגיה ) k ψ(p 1,,... P של תחשיב הפסוקים (הסימון הזה אומר ש P 1,..., P k הם כל המשתנים הפסוקיים המופיעים בψ ) (למשל: (p ψ(p, q) = ϕ = תחשיב היחסים) כך ש (של ϕ 1,..., ϕ k ונוסחאות (q) ( p q).ϕ i ב P i ע י החלפת כל מופע של מתקבלת ו ϕ ψ(ϕ 1,..., ϕ k ) משפט הקריאה היחידה: תהי ϕ נוסחה בתחשיב היחסים, אזי בדיוק אחד מן הבאים מתקיים: ϕ נוסחה אטומית קיימות נוסחאות ϕ 1, ϕ 2 יחידות וקשר לוגי דו מקומי יחיד כך ש ϕ = ϕ 1 ϕ 2 קיימת נוסחה יחידה ϕ 1 כך ש ϕ = ϕ 1 קיימת נוסחה יחידה ϕ 1 כך ש ϕ = xϕ 1 קיימת נוסחה יחידה ϕ 1 כך ש ϕ = xϕ 1 תרגיל לחשוב עליו בבית: ניתן לכתוב תוכנית מחשב (בשפת התכנות החביבה עליכם) שבהינתן נוסחה ϕ בתחשיב הפסוקים בודקת האם ϕ טאוטולוגיה של תחשיב היחסים. (רמז) בהינתן נוסחה ϕ של תחשיב הפסוקים יש אלגוריתם הקובע האם ϕ טאוטולוגיה. דברים שצריך בשביל העבודה: (שאלה 4) תהיינה,Γ קבוצות פסוקים. נסמן = Γ (גורר) אם לכל מבנה M ולכל השמה s מתקיים: אם (M, s) = Γ אז = s).(m, דוגמה: אם ב יש רק טאוטולוגיות/נוסחאות אמיתיות לוגיות אז = Γ לכל.Γ ל כנ ל אם = Γ אז בΓ יש רק נוסחאות אמיתיות לוגיות. אם Γ אינה ספיקה אז = Γ לכל (באופן ריק). אם ϕ = ψ אז = ϕ ψ כלומר ϕ = ψ אמיתי לוגית. הכיוון השני גם נכון. (שאלה 1) אפשר לחשוב על G כעל מבנה לשפה {R} עבור יחס דו מקומי R. אם G גרף סופי קיים פסוק ϕ G בשפה הנ ל כך שלכל מבנה M בשפה, אם M = ϕ G אז. M = G תזכורת: יהיו,M N מבנים לשפה L של תחשיב היחסים. נאמר ש M = N (איזומורפיים) אם קיימת פונקציה חח ע ועל f : M N כך ש: c לכל קבוע אישי f(c M ) = c N לכל סימן יחס N מקומי R ולכל (a 1,..., a n ) M N מתקיים a 1,..., a n R M f(a 1 ),..., f(a n ) R N 5

לכל סימן פונקציה N מקומי G ולכל (a 1,..., a n ) M N מתקיים f(g M (a 1,..., a n )) = G N (f(a 1 ),..., f(a n )) הכנה לשיעור הבא: אם Γ קבוצת נוסחאות ספיקה וΓ Γ 0 אז Γ 0 ספיקה אם Γ ספיקה ו Γ ϕ 1, ϕ 2 אז גם } 2 Γ {ϕ 1 ϕ ספיקה אם בΓ יש פסוק ϕ שאינו ספיק אז בוודאי Γ אינה ספיקה משפט הקומפקטיות: תהי Γ קבוצת פסוקים סגורה תחת (כלומר אם ϕ 1, ϕ 2 Γ אז גם (ϕ 1 ϕ 2 Γ אז Γ ספיקה אם ורק אם כל ϕ Γ ספיקה. 4 קומפקטיות ומסננים משפט 4.1 משפט הקומפקטיות: תהי Γ קבוצת פסוקים סגורה תחת (כלומר אם 2 ϕ 1, ϕ Γאז גם (ϕ 1 ϕ 2 Γ אזי Γ ספיקה אם ורק אם כל ϕ Γ ספיק. טענה 4.2 תהי Γ קבוצת פסוקים אזי קיימת קבוצת פסוקים Γ Γ כך ש.1 Γ סגורה תחת 2. Γ Γ כלומר כל מודל של Γ הוא מודל של Γ ולהיפך לכל k N 1 ולכל Γ קבוצת הפסוקים המתקבלת מΓ באופן הבא: תהי הוכחה: k יהיו מדוע? נשים לב ש Γ סגורה תחת.., ϕ 1,..., ϕ k Γ ב Γ יהיה הפסוק ϕ i ϕ 1 1,..., ϕ 1 k 1 ו Γ ψ 1, ψ 2 לפי ההגדרה של Γ יש מספרים טבעיים k 1, k 2 1 ופסוקים i=1 ϕ 2 1,..., ϕ 2 k 2 כך ש ψ 1 = k 1 i=1 ϕ 1 i ו ψ 2 = k 2 i=1 ϕ 2 i Θ i = { ϕ 1 i i k 1 ϕ 2 i k 1 i > k 1 = 2 ψ 1 ψ כאשר k 1+k 2 i=1 אז Θi 6

מכיוון ש Γ Θ i לכל i גמרנו. Γ היא המועמדת שלנו לספק את הטענה ונותר להראות ש Γ.Γ מספיק להראות שאם M = Γ אז Γ.M = יהי Γ ψ ונניח כמו קודם k = ψ עבור ϕ i Γ כלשהו. V al M (ψ) = V al M ( ϕ i ) = t (V al M (ϕ 1 ),...V al M (ϕ k )) = T RUE מתקיים אמ ם לכל.V al M (ϕ i ) = T RUE 1 i k כיוון שΓ M = אז M = ϕ i לכל.M = ψ ולכן i i=1 אזי: ϕ i הגדרה 4.3 קבוצת פסוקים Γ נקראת ספיקה מקומית אם כל תת קבוצה סופית שלה היא ספיקה. משפט 4.4 (משפט הקומפקטיות נוסח שקול) קבוצת פסוקים Γ היא ספיקה מקומית אם ורק אם היא ספיקה. הוכחה: נוכיח שמשפט הקומפקטיות גורר את הנוסח הזה. תהי Γ קבוצת פסוקים ספיקה מספיק להראות תהי Γ כמובטח בטענה, כלומר Γ Γ ו Γ סגורה תחת. מקומית. k ψ = לאיזה יהי Γ ψ אז ϕ i לפי משפט הקומפקטיות שכל פסוק ב Γ הוא ספיק. i=1. ϕ 1,..., ϕ k Γ לפי ההנחה Γ ספיקה מקומית. לכן } k {ϕ 1,..., ϕ קבוצת פסוקים ספיקה. לכן יש מודל M = ϕ i לכל i k 1 לפי מה שהראנו בהוכחת הטענה.M = ψ לכן Γ סגורה תחת חיתוך וכל Γ ψ ספיק. לפי משפט הקומפקטיות עבור Γ יש Γ M = אבל.M = Γ לכן Γ Γ נוכיח את הכיוון השני (שהנוסח הזה גורר את משפט הקומפקטיות). נניח Γ מקיימת את ההנחות כלומר Γ סגורה תחת וכל פסוק בה ספיק. יספיק להראות בעזרת הנוסח השקול שΓ ספיקה מקומית. נוכיח באינדוקציה על k שכל קבוצת פסוקים מגודל k ב Γ היא ספיקה. עבור = 1 k נתון. נניח שΓ {ϕ 1,..., ϕ k } והראנו עבור כל קבוצת פסוקים מגודל 1 k שהיא ספיקה. כיוון שΓ סגורה תחת חיתוך {ϕ 1 ϕ 2, ϕ 3,..., ϕ k }. ϕ 1 ϕ 2 Γ = היא קבוצה בגודל 1 k ולכן לפי הנחת האינדוקציה היא ספיקה. אם = M אז M = ϕ i לכל 3 i וכן. M = ϕ 1 ϕ 2 אבל M = ϕ 1 ϕ 2 M = ϕ 1 M = ϕ 2 ולכן } k M = {ϕ 1,..., ϕ כנדרש. כלומר Γ ספיקה מקומית וע ס הנוסח השקול ספיקה. הגדרה 4.5 תהי I קבוצה (בד כ אינסופית אבל לא בהכרח). מסנן (filter) על I זו קבוצה P(I) F (כלומר אוסף של תת קבוצות של I) כך שמתקיים: F.1.2 אם J F ו J J אז J F.3 אם J, J F אז J J F אם בנוסף לכל J I אם J F אז I\J F אז F נקרא על מסנן. דוגמאות: 7

תהי I קבוצה כלשהי. לכל a I נגדיר על מסנן F a באופן הבא: J I, J F אמ ם a J.(הערה: על מסנן F על I נקרא ראשי אם קיים I כך ש F). = F a אם I סופית אז כל על מסנן על I הוא ראשי. יהי F על מסנן על I. כיוון ש I סופית גם F סופית ולכן באינדוקציה לפי :3 } F J F = { J : J ו.J F F אם J F יחידון גמרנו. נניח בשלילה שזה לא המקרה. אחרת יש 2 איברים שונים ב J F (לפחות). ניקח J I שמכילה את הראשון אבל לא את השני. לא J ולא המשלים של J יכולים להיות ב F כי כל קבוצה ב F מכילה את J. F תהי I קבוצה אינסופית. נגדיר (finite)}.f = {U I : I\U < ℵ 0 תרגיל: זהו מסנן שאינו על מסנן. טענה 4.6 תהי I קבוצה לא ריקה. F מסנן על I אזי קיים על מסנן F F. במילים אחרות כל מסנן על I ניתן להרחבה לעל מסנן. (הוכחה בשיעור הבא). 5 מסננים והלמה של צורן הגדרה 5.1 תהי I קבוצה (לא ריקה) אז מסנן F על I זה אוסף של תת קבוצות של I כך ש: F.1.2 אם U 1, U 2 F אז U 1 U 2 F.3 אם U F ו U V אז V F. I\V F אז V F אם V I הוא על מסנן אם לכל F למה 5.2 הלמה של צורן תהי (,I) קבוצה סדורה חלקית. V I תקרא שרשרת אם לכל v 1, v 2 V או v 1 v 2 או.v 2 v 1 אז נניח שלכל שרשרת V I יש חסם מלעיל, כלומר קיים w I כך ש w V (כלומר w v לכל.(v V אזי ב( (I, יש איבר מירבי, כלומר קיים u I כך שלכל u v I מתקיים.u v טענה 5.3 תהי I קבוצה לא ריקה ו F מסנן על I. אזי קיים על מסנן F. U במילים אחרות, כל מסנן F על I ניתן להרחבה לעל מסנן. הוכחה: תהי H קבוצת כל המסננים על.I לאינטואיציה: P(P(I)) F אז P(P(I) H או P(P(P(I))).H על H אפשר להגדיר סדר חלקי ע י הכלה. כלומר, ל H F 1, F 2 נאמר ש F 1 F 2 אם לכל V F 1 מתקיים גם.V F 2 אפשר לכתוב גם.F 1 F 2 נרצה להשתמש בלמה של צורן, לכן עלינו להראות שאם V H שרשרת אז ל V יש חסם מלעיל בH. נגדיר } V.F V = V = {U I : U F, for some F נראה ש F V הוא מסנן..1 ברור כי F V.2 נניח ש.U 1, U 2 F V קיימים F 1, F 2 V כך ש U 1 F 1 וגם.U 2 F 2 כיוון ש V שרשרת, ב.ה.כ. F 1 F 2 לכן U 1 F 2 לכן גם U 1 U 2 F 2 ולכן.U 1 U 2 F V.3 אם U F V ו U W אז לפי הגדרה קיים איזה F V כך ש.U F לכן גם.W F V ולכן W F 8

הראנו שלכל שרשרת בH יש חסם מלעיל, כי ברור F V H ו F F V לכל F V כלומר F V חסם מלעיל ל V. לפי הלמה של צורן, ב H יש איבר מירבי, נסמנו U. נראה שU על מסנן. נניח בשלילה שהוא לא. כיוון ש H U הוא מסנן ולכן הנחת השלילה מבטיחה שיש קבוצה U I כך ש U U ו.I\U U נשים לב כי במקרה זה U} U U = U {W I : U V W, for some V הוא מסנן וזאת תהיה סתירה למירביות של U כי.U U U מדוע U U הוא מסנן?.1 נוכיח ש U U. אם U U הרי שהיא מהצורה U V לאיזה.V U אבל אז V I\U ואז I\U U בסתירה. 2. U U סגורה כלפי מעלה מעצם הגדרתה..3 נראה כי אם U 1, U 2 U U אז גם.U 1 U 2 U U ב.ה.כ.U 1 U לכן U V U לאיזה.V U לכן U V U 2 U 2 U 1 עבור V הזו. אם U 2 U אז U V 2 אחרת U 2.U 1 וכך גם U 2 U (V U 2 ) U U ולכן V U 2 U לאיזה. V 2 U ואז U (V V 2 ) U 1 U 2 וגם.U (V V 2 ) U U קיבלנו U U H ו U U U סתירה. לכן U על מסנן. (הרחבה) אם F מסנן על I נגדיר H F H אוסף המסננים המכילים את F. באופן טריויאלי לכל שרשרת ב H F יש חסם מלעיל ב H (כי F כל שרשרת כזו היא שרשרת של איברים שגדולים מ F ולכן אם יש לה חסם בH הרי שהוא חסם ב H. F לכן Hמקיימת F את הלמה של צורן, לכן יש איבר מירבי גם בHוראינו שאלו על מסננים. מסקנה 5.4 לכל קבוצה אינסופית I יש על מסנן F על I כך שאם I\U < ℵ 0 אז U. F הגדרה 5.5 מכפלות: תהי Γקבוצה לא ריקה כלשהי ו M} γ } γ Γ אוסף של קבוצות לא ריקות. אז המכפלה M γ זה אוסף כל הפונקציות f : Γ M γ המקיימות γ Γ γ Γ n. M = M n אז i, j לכל M i = M j ו Γ = {1,..., n} הערה: אם.f(γ) M γ i=1. γ Γ משפט 5.6 אקסיומת הבחירה: אם Γלא ריקה ו γ M לכל γ Γ אז γ M 6 מכפלות הגדרה 6.1 מכפלות: תהי Γ קבוצה לא ריקה כלשהי ו M} γ } γ Γ אוסף של קבוצות לא ריקות. אז המכפלה M γ זה אוסף כל הפונקציות f : Γ M γ המקיימות γ Γ γ Γ n. M = M n אז i, j לכל M i = M j ו Γ = {1,..., n} הערה: אם.f(γ) M γ i=1 דוגמה: אם M γ = M לכל M אז M = M Γ זה פשוט אוסף כל הפונקציות מΓ γ Γ לM. 9

הגדרה 6.2 אם Γלא ריקה ו γ M לכל.γ Γ תהי.M = M γ לM x, ȳ נגדיר.{γ Γ : x(γ) = ȳ(γ)} F אם Γ על F עבור על מסנן x F y טענה 6.3 בסימונים של ההגדרה האחרונה F הוא יחס שקילות. {γ Γ : x(γ) = ȳ(γ)} = Γ F.1 (א) x(γ)} {γ Γ : x(γ) = ȳ(γ)} = {γ Γ : ȳ(γ) = U = {γ Γ : x(γ) = ȳ(γ)} F V = {γ Γ : ȳ(γ) = z(γ)} F (ב) נניח שy x F ו z y F אז הוכחה: וגם לכן U V F אבל.U V {γ Γ : x(γ) = z(γ)} F הגדרה 6.4 תהי Γ קבוצה לא ריקה ולכל γ Γ יהי M γ מבנה לשפה L. יהי F על מסנן M =( γ Γ (לא ראשי) על Γ אז העל מכפלה של M} γ } γ Γ ביחס ל F שתסומן M γ F/( היא המבנה המוגדר כלהלן: γ Γ ( כלומר אוסף מחלקות השקילות של.1 העולם של העל מכפלה הוא M γ )/ F ( γ Γ היחס F על המכפלה ) γ M.2 לכל קבוע אישי c L נפרש ] γ Γ [(c Mγ ) מחלקת השקילות של הסדרה (c Mγ ) γ Γ ביחס ל. F {γ Γ : אם [ā 1,..., a.3 לכל סימן יחס N מקומי. R L נאמר ש n ] R M. (ā 1 (γ),..., a n (γ)) R Mγ {γ Γ : אם F M [(ā 1,..., an 4. לכל סימן פונקציה N מקומי Fנאמר ש[ b ] = [( כלומר אם הערה: הנ ל מוגדר היטב. a. F Mγ (ā 1 (γ),..., n (γ)) = b(γ)} F [d] [b] = אז {γ Γ : F Mγ (ā 1 (γ),..., a n (γ)) = b(γ)} }{{} F {γ Γ : d(γ) = b(γ)} }{{} F } {{ } F {γ Γ : F Mγ (ā 1,..., a n (γ)) = d(γ)} }{{} F כי [d] [b] = כלומר b F d וזאת בדיוק ההגדרה. 10

M = ( γ Γ ו ( ϕ(x 1,..., x n נוסחה ו s השמה לM. אזי מתקיים משפט 6.5 יהיו M γ )/F V al M (ϕ, s) = T RUE אם ורק אם לכל השמות (s γ ) γ Γ (עם s γ השמה ל (M γ כך ש.{γ Γ : V al M (ϕ, s γ ) = T RUE} F מתקיים ש [(s γ ) γ Γ ] F [s] הוכחה: באינדוקציה על יצירת הנוסחאות. נתחיל משמות עצם: עבור t קבוע אישי c מתקיים ] γ Γ.V al M (c, s) = c M = [(c Mγ ) γ Γ ] = [V al Mγ (c, s) x כלומר לכל משתנה אישי.[s 0 ] = כך ש s γ Γ לשם נוחות נקבע השמה s 0 ל M γ מתקיים s(x).[s 0 (x)] = עבור t משתנה אישי V al M (x, s) = [s 0 (x)] = s(x) : x }{{} =[s γ(x)] עבור t פונקציה ) n t = F (t 1,..., t אז V al M (F (t 1,..., t n ), s) = F M (V al M (t 1, s),..., V al M (t n, s)) = F M ([V al Mγ (t 1, s γ )],..., [V al Mγ (t n, s γ )]) = [F Mγ (V al Mγ (t 1, s γ ),...V al Mγ (t n, s γ )] עתה נתחיל בהוכחה עבור נוסחאות:.1 אם ϕ נוסחה אטומית )) n R(t 1 (x 1,..., x n ),..., t m (x 1,..., x אז אם ורק אם V al M (R(t 1,..., t n ), s) = T RUE (V al M (t 1, s),...v al M (t m, s)) R M {γ Γ : (V al M (t 1, s)(γ),..., V al M (t n, s)(γ)) R Mγ } F אם ורק אם לפי מה שהראנו עבור שמות עצם ] γ Γ [V al M (t i, s)] = [(V al M (t i, s γ )(γ)) לכל i m.1 לכן, {γ Γ : (V al M (t 1, s γ ),..., V al M (t m, s γ )) R Mγ } F {γ Γ : (V al Mγ (t 1, s γ ),..., V al Mγ (t m, s γ )) R Mγ } F וזה מה שהיינו צריכים. 7 משפט Los והוכחת קומפקטיות משפט 7.1 משפט Los תהי L שפה לתחשיב הפסוקים, Γ קבוצה לא ריקה, לכל γ Γ מבנה M γ לשפה.L יהי F על מסנן על Γ ו s השמה עבור ) /F M = ( M γ ו ϕ(x) γ 11

γ המקיימת נוסחה בL. אזי Vאם al M (ϕ, s) = T RUE ורק אם לכל השמה s ל M γ [s(x)] s(x) = מתקיים: {γ Γ : V al Mγ (M γ, s(γ)) = T RUE} F (כאשר s(γ)(x) זה הקואורדינטה הγ של.(s(x)?( γ Γ תזכורת: כיצד מגדירין ( לכבוד פסח א. חסון, חג שמח) מבנה לשפה L על ) F/ M γ עבור קבוע אישי c פשוט לוקחים את ] γ Γ.[(c Mγ ) עבור סימן יחס N מקומי R נקבע ש ā 1,..., ā n R M אם קיימים n a 1,..., a γ Γ כך ש [a 1 ] = ā 1,..., [a n ] = a n כך ש M γ {γ Γ : (a 1 (γ),...a n (γ)) R Mγ } F עבור סימן פונקציה N מקומי F M (ā 1,..., ā n ) = b אם קיימים n b, a 1,..., a γ Γ כך ש [a 1 ] = ā 1,..., [a n ] = a n, [b] = b כך ש M γ {γ Γ : F M (a 1 (γ),...a n (γ)) = b(γ)} F ā 1,..., a 1. להוכיח כי זה מוגדר היטב, כלומר F M היא אכן פונקציה. ז א עבור n M.F M ( a 1,..., a קיים b יחיד כך שb n ) = F M (ā 1,..., a n ) = [F M (a 1 (γ),..., a n (γ)) γ Γ ] אז [a 1 ] = ā 1,..., [a n ] = a.2 אם n. תרגיל: הוכחה: ראשית נראה: אם t שם עצם בL,,s s השמות כבניסוח המשפט אז = (s V al M,t).t באינדוקציה על יציאת [(V al Mγ (t, s(γ))) γ Γ ] עבור t קבוע אישי V al M (t, s) = [(c Mγ ) γ Γ ] = [(V al Mγ (c, s(γ))) γ Γ ] :c עבור t משתנה אישי V al M (t, s) = s(x) = [s(γ)(x) γ Γ ] = [(V al Mγ (t, s(γ))) γ Γ ] :x עבור ) n :t = F (t 1,..., t V al M (f(t 1,...t n ), s) = F M (V al M (t 1, s),..., V al M (t n, s)) = F M ([(V al Mγ (t 1, s(γ))) γ Γ ],..., [(V al Mγ (t n, s(γ))) γ Γ ] = [F M (V al Mγ (t 1, s(γ)),..., (V al Mγ (t n, s(γ))] 12

הוכחנו עבור שמות עצם. כעת נוכיח את המשפט באינדוקציה על יצירת הנוסחה. עבור ϕ נוסחה אטומית ) n R(t 1,..., t מתקיים V al M (R(t 1,...t n ), s) = T RUE (V al M (t 1, s),...v al M (t n, s)) R M אם ורק אם קיימים נציגים ל ( s V al M (t, נסמנם a 1,..., a n כך ש: {γ Γ.(a 1 (γ),..., a n (γ)) R Mγ } F את מי נבחר כנציגים? לפי מה שהראנו עבור שמות עצם אפשר לבחור את V) al Mγ t) i, s(γ))) γ Γ בתור נציגים לכל i. ז א V al M (ϕ, s) = T RUE {γ Γ : (V al Mγ (t 1, s(γ)),..., V al Mγ (t n, s(γ)) R Mγ } V al M (ψ, s) = T RUE (וזה בדיוק מה שמשפט Los אומר). עבור ϕ = ψ מתקיים {γ Γ : V al Mγ (ψ, s(γ)) = T RUE} F {γ Γ : V al Mγ (ψ, s(γ)) = F ALSE} F {γ Γ : V al Mγ ( ψ, s(γ)) = T RUE} F וזה מתקיים אם ורק אם V al M ( ψ, s) = F ALSE V al M (ϕ, s) = F ALSE המקרים של ϕ = ψ 1 ψ 2 דומים מאוד (משתמשים בתכונות של על מסנן). נותר המקרה xψ(x) ϕ = (המקרה של x נובע מהמקרה הנ ל וממה שעבר עשינו ע י השקילות הלוגית x ψ(x).( xψ(x) = כיוון אחד: נניח כי ( x)ψ(x) (M, s) = ז א שקיים ā M כך ש= s) (M,.ψ(ā) נוסיף לשפה קבוע אישי חדש c ונרשום ψ(c) הנוסחה המתקבלת מψע י החלפת של מופע חופשי של x בנוסחה ψ בc. נרחב את Mלמבנה לשפה המועשרת ע י כך שנגדיר.c M = ā אזי s).v al M (ψ, s[ x ā ]) = V al M(ψ(c), אז לפי הנחת האינדוקציה: V al M (ψ(c), s) = T RUE {γ Γ : V al Mγ (ψ(c), s(γ)) = T RUE} F x {γ Γ : V al Mγ (ψ(x), s(γ)([ ])) = T RUE} F Mγ c {γ Γ : V al Mγ ( xψ(x), s(γ)) = T RUE} F. 13

כיוון שני: נניח כי.{γ Γ : (M γ, s) = ( x)ψ(x)} F נגדיר איבר a γ אז נבחר (M γ, s) = xψ(x) אם γ Γ באופן הבא: לכל a γ Γ M γ שמעיד על כך. אם xψ(x) (M γ, s) = נבחר a γ M γ שרירותי. נגדיר [a]. ā = מההנחה שלנו {γ Γ : (M γ, s(γ)[ x a γ ]) = ψ(x)} F (M, s[ x ]) = ψ(x) ā (M, s) = ( x)ψ(x). מסקנה 7.2 נניח שΓ לא ריקה ו Mמבנים γ לשפה L לכל γ Γ ו F על מסנן על Γ, אזי.{γ Γ : M γ = ψ} F אם ורק אם ( γ Γ לכל פסוק ψ בL מתקיים M γ )/F = ψ מסקנה 7.3 משפט הקומפקטיות: תהי Γ קבוצה פסוקים בשפה.L נניח שלכל ψ 1, ψ 2 Γ גם ψ 1 ψ 2 Γ ולכל ψ Γ קיים מודל M ψ = ψ אזי Γ ספיקה כלומר קיים.M = Γ הוכחה: לכל ψ Γ נבחר מבנה.M ψ = ψ תהי P(Γ) U הקבוצה המקיימת קיים.V U {γ Γ : M γ = ψ} V ש: ψכך Γ טענה U 7.4 מסנן על. Γ הוכחה: לכל ψ Γ מהנחתנו M ψ = ψ לכן ψ}.{γ Γ : M γ = לכן.U ברור שU סגורה כלפי מעלה. נניח שU v 1, v 2 אזי קיימים ψ 1, ψ 2 Γ כך ש {γ Γ : M γ = ψ i } V i וזה גורר....V 1 V 2 U γ Γ ( אם ורק אם יהי F על מסנן שמרחיב את. U לפי המסקנה מתקיים M γ F/( = ψ {γ Γ : M γ = ψ} הקבוצה ψ Γ לכל U אבל מהגדרת.{γ Γ : M γ = ψ} F U ולכן ל F. מש ל. 8 עקביות משפט 8.1 תהי (,P) קס ח, אזי קיים יחס R על P (דו מקומי) כך ש 1. R יחס סדר קווי (א) לכל a, b P אם a b אז b).r(a, במילים אחרות, קיים סדר קווי R על P שמרחיב את. 14

משפט 8.2 הערה: המשפט עבור קבוצה סופית P איננו קשה. ההוכחה באינדוקציה על P. עבור = 1 P אין מה להוכיח. נניח שהוכחנו עבור כל P עם P = n ונוכיח עבור + 1 n: תהי (,P) קס ח עם + 1 n איברים. כיוון ש P סופית יש לה איבר מינימלי a. תהי {a}\ Q. = P אז (,Q) קס ח עם n איברים ולפי הנחת האינדוקציה יש R סדר קווי על Q שמרחיב את על Q. עתה לא קשה לבדוק שאם נגדיר (b R(a, לכל b Q נקבל את המבוקש. הוכחה: (מקרה כללי) תהי L שפה לתחשיב היחסים שבה:.1 לכל p P יש קבוע אישי c p 2. יחס דו מקומי R בלבד. נגדיר קבוצת פסוקים T P בL באופן הבא: p q P לכל c p c q.1 2. R יחס סדר קווי.3 לכל p, q P אם p q אזי יהיה פסוק ) q.r(c p, c טענה T P 8.3 ספיקה (מקומית). הוכחה: ממשפט הקומפקטיות יספיק להוכיח ש T P ספיקה מקומית. תהי T 0 T P סופית. בה כ האקסיומה (2) R יחס סדרי קווי שייכת ל T. 0 בנוסף נשים לב שב T 0 מופיעים רק מספר סופי של קבועים, נאמר: c. P1,,... c pn נביט בקבוצה.P 0 = {p 1,..., p n } P אז ), 0 (P קס ח סופית. לכן לפי ההערה יש יחס R P0 שהוא סדר קווי על P 0 המרחיב את על P. 0 ברור שאם נפרש את R ב P 0 ע י R P0 כנ ל ו c pi ע י p i אז נקבל מודל של T. 0 יהי M, = T P בפרט R M סדר קווי על M. יהי N M המבנה שעולמו הוא הקבועים של M (כלומר a N a = c M p לאיזה.(p P נגדיר יחס סדר חלקי N על N ע י p q c N p c N q לכל. p, q P אז ) N (P, ) = (N, פשוט ע י.p c N p לכן בה כ ) N.(P, ) = (N, עתה R M N (צמצום) סדר קווי על.N (לפי (2) = M מתקיים כי R M סדר קווי וצמצום של כזה הוא נשאר קווי). כיוון ש ( 3 ) = M אז אם p q אזי ) q p(c p, c היא אקסיומה ב( 3 ) ולכן ) q M = R(c p, c ולכן ) q.n = R(c p, c משפט 8.4 תהי {G} L = עבור יחס דו מקומי T G G. התורה שאומרת כי העולם הוא גרף. אזי אין פסוק ψ בL כך שψ M = אם ורק אם M גרף קשיר. הוכחה: נניח בשלילה שיש פסוק ψ כזה. נוסיף לשפה קבועים אישיים חדשים c. 1, c 2 יהי ל c: 2 c 1 בין הפסור שאומר שאין מסילה באורך קטן מn ϕ n n 1 ( x 1,..., x n )[G(c 1, x 1 ) (G(x i, x i+1 ) x i = x i+1 ) G(c 2, x n )] i=1 נשים לב שn=1 Γ = {c 1, c 2 } ψ {ϕ n } עיקבית מקומית. אם Γ 0 קבוצה סופית של פסוקים מן הקבוצה הנ ל יש n מירבי כך ש.ϕ n Γ 0 ברור שאם נמצא ) 2 M = ϕ n ψ (c 1 c אז.M = Γ 0 אבל ברור שלכל n יש גרך המקיים את ) 2 ϕ n ψ (c 1 c (פחות מn 15

קודקודים, בפרט אין מסילה מ cל 1 c). 2 ולכן Γ ספיקה סופית. לפי קומפקטיות Γ עקבית. אבל זה לא ייתכן: אם M = Γ אז M = ψ ולכן בין c 1 ל c 2 יש מסילה ובהכרח אורכה סופי, נאמר n. מצד שני M = ϕ n ולכן אין מסילה באורך n בין c 1 ל c 2 וזוהי סתירה להנחת השלילה. הערה: 1. באופן דומה אפשר להוכיח כי אין פסוק ψ בשפה { } = L כך שψ M = אם ורק אם { } סדר טוב (כלומר סדר שווי בלי סדרה אינסופית יורדת). 2. אותה הוכחה בדיוק תעבוד אם ננסה למצוא קבוצת פסוקים Γ כך שΓ M = אם ורק אם M גרף קשיר/ M סדור היטב (סדר טוב). תזכורת: אם Γ קבוצת פסוקים אז Γ = ψ אם לכל מבנה :M אם M = Γ אז. M = ψ מסקנה 8.5 אם Γ = ψ אז קיימת קבוצת פסוקים Γ 0 Γ סופית כך שψ.Γ 0 = הוכחה: נביט בקבוצה {ψ }. Γ מהנחתנו קבוצה זו איננה ספיקה. מקומפקטיות יש וΓ Γ 1 Γ כי אחרת ψ איננה ספיקה. ברור ש Γ 1 סופית כך ש Γ 1 Γ 1 Γ { ψ} עקבית. (אם Γ איננה עקבית מקומפקטיות יש Γ 0 Γ שאינה ספיקה וϕ Γ 0 = לכל פסוק M = אחרת יש מודל Γ 0 (כי Γ 0 = ψ סופית ומקיימת Γ Γ 0 = Γ 1 \{ ψ} לכן.(ϕ ו ψ M = כלומר M = ψ כלומר M = Γ 1 בסתירה לבחירת.(Γ 1 במילים אחרות ליחס = יש טבע סופי. שאלה מרכזית: בהינתן שפה L וקבוצת פסוקים Γ בL, כיצד אפשר לדעת/לבדוק ביחס לפסוק ψ כלשהו האם Γ? = ψ בתור התחלה נשים לב שאם ψ Γ אז בוודאי Γ. = ψ ולכן רצוי שנוכל לענות על השאלה האם ψ? Γ נניח שהגדרנו מתי קבוצת פסוקים Γ היא חשיבה, כלומר ניתן לענות על השאלה מתי פסוק ψ שייך לΓ. נניח שΓ קבוצת פסוקים חשיבה ונניח שΓ ψ 1, ψ 2 אז.Γ = ψ 1 ψ 2 נניח שΓ ψ 1 ו Γ = ψ 1 ψ 2 אז.Γ = ψ 2 באופן כללי יותר אם הראנו למשל ψ 1 ו ψ 1 ψ 2 נגררים לוגית ע י Γ אז ניתן להראות.Γ = ψ 2 9 מערכות היסק ויכיחות בעיה מרכזית: נתונה קבוצת פסוקים Γ ורוצים לדעת עבור פסוק ψ האם Γ. = ψ מקרה פרטי: = Γ, כלומר רוצים לדעת האם פסוק ψ אמיתי לוגית או לא. המקרה הפרטי מנביע את המקרה הכללי. מדוע? בהינתן קבוצת פסוקים Γ וψ כלשהו, אם Γ = ψ ( אמיתי ϕ Γ 0 אז יש Γ 0 Γ סופית כך שψ Γ 0 = (משפט הקומפקטיות) ולכן ϕ) ψ לוגית ואת זה אנחנו יודעים לבדוק. שאלה: מתי פסוק הוא אמיתי לוגית? 1. אנחנו יודעים שכל טאוטולוגיה היא אמיתית לוגית. 2. אם ϕ אמיתי לוגית אז xϕ אמיתי לוגית. אפשר לרשום גם: ϕ xϕ אמיתי לוגית. 3. אם xϕ(x) אמיתי לוגית אז ϕ(t) אמיתי לוגית לכל שם עצם t. אפשר לרשום גם: ϕ(t) xϕ(x) אמיתי לוגית. 16

4. אם ϕ ψ אמיתי לוגית וϕ אמיתי לוגית אז ψ אמיתי לוגית. (בכל מערכות ההיסק שנעבוד איתן זה יהיה כלל ההיסק היחיד. זה נקרא כלל הניתוק או (Modus Poneus סימון: בהינתן שפה L מסדר ראשון נסמן Def(L) אוסף הנוסחאות בשפה L. הגדרה 9.1 מערכת היסק (לשפה L) זה זוג סדור I, A כאשר: 1. Def(L) A (אולי ריקה) שנקראת קבוצת האקסיומות הלוגיות I כאשר F n זה אוסף הפונקציות Def(L) f : Def n (L) ו I נקראת F i.2 i=1 אוסף כללי ההיסק. הערה: תמיד נדרוש כי: 1. אם ϕ A אז ϕ אמיתי לוגית. במקרה זה נאמר כי האקסיומות הלוגיות תקפות..2 אם f I ו dom(f) {ϕ 1,..., ϕ n } אז ) n.{ϕ 1,..., ϕ n } = f(ϕ 1,..., ϕ במקרה זה נאמר כי כללי ההיסק נאותים. ψ 1,...,ψ n ψ סימון: אם נרצה לומר שψמתקבל מ ψ 1,,... ψ n על ידי אחד מכללי ההיסק נרשום ולא צריך יהיה להסביר באיזה כלל היסק מדובר. הגדרה 9.2 בהינתן מערכת היסק I,A וקבוצת נוסחאות Γ נאמר שנוסחה ψ יכיחה (כלומר, ניתנת להוכחה) מΓ,ונסמן Γ, ψ אם קיימת סדרת נוסחאות ϕ 1,,... ϕ k לאיזה k N כך ש: ψ = ϕ k.1.2 לכל i k 1 או: (א) ϕ i אקסיומה לוגית. או: (ב).ϕ i Γ או: (ג) ϕ i מתקבל מנוסחאות קודמות בסדרה ע י אחד מכללי ההיסק. במקרה שלנו יש j 1, j 2 < i כך ש ϕ i מתקבל מ ϕו j1 ϕ j2 ע י כלל הניתוק. הסדרה ϕ 1,,... ϕ k המקיימת את התנאים הנ ל נקראת הוכחה של ψ מ Γ. שאלה: האם קיימת מערכת היסק חשיבה (כלומר שבה אפשר להכריע מתי נוסחה היא אקסיומה לוגית, ומתי נוסחה מתקבלת מנוסחאות קודמות ע י אחד מכללי ההיסק) כך שכל נוסחה אמיתית לוגית יכיחה (מ ). מעכשיו כל מערכת היסק שנדון בה תכיל את כלל הניתוק ככלל יחיד ואת כל הטאוטולוגיות כאקסיומות לוגיות (אולי גם אקסיומות לוגיות נוספות). טענה 9.3 תהי T תורה (קבוצת פסוקים ספיקה) כלשהי וψ נוסחה כך ש ψ T אזי {ψ} T ספיקה. 17

הוכחה: יהי M = T נראה באינדוקציה על אורך ההוכחה של ψ מ T ש ψ M. = אם ל ψ הוכחה באורך 1 אז או ש ψ אקסיומה לוגית ולכן אמיתי לוגית ולכן מסופק ב M, או ש ψ T ובוודאי ש ψ M = (כי.(M = T נניח ש ϕ 1,..., ϕ k הוכחה של ψ מ T ואפשר להניח ב.ה.כ ש ψ = ϕ k מתקבל מאיזה ϕ j1, ϕ j2 עם j 1, j 2 < k ע י כלל הניתוק. לפי הנחת האינדוקציה M = ϕ j1 וגם M. = ϕ j2 מכיוון שכלל הניתוק הוא נאות, בפרט.M = ψ ולכן {ϕ j1, ϕ j2 } = ψ משפט 9.4 משפט ההיסק: תהי Γ קבוצת נוסחאות ו ψ נוסחה כלשהי, אז Γ {ψ} φ אם ורק אם φ) φ) Γ (ψ נוסחה). (ההוכחה היא באינדוקציה על אורך ההוכחה, ונראה זאת עוד מעט). הגדרה 9.5 קבוצת נוסחאות Γ תקרא עקבית אם היא לא מוכיחה סתירה. (סתירה היא המקבילה של טאוטולוגיה כלומר הצבה של פסוקים מתחשיב היחסים בסתירה של תחשיב הפסוקים). הערה 9.6 אם Γ אינה עקבית אז Γ ψ לכל נוסחה ψ. הוכחה: מהנחתנו Γ σ לאיזו סתירה σ. אז Γ ψ היא טאוטולוגיה (σ מתקבלת ע י הצבה של פסוקים מתחשיב היחסים בפסוק ) n Σ(P 1,,... P של תחשיב הפסוקים ו Σ(P 1,..., P n ) P היא טאוטולוגיה של תחשיב הפסוקים). כיוון שσ Γ מכלל הניתוק.Γ ψ מסקנה 9.7 (ממשפט ההיסק) לכל תורה T ולכל נוסחה ϕ או ש ϕ T עקבית או ש ϕ T עקבית. הוכחה: נניח ש ϕ T ו ϕ T שתיהן אינן עקביות. לפי ההערה יש סתירה σ כך ש T ϕ σ ו σ. T σ לפי משפט ההיסק T ϕ σ ו σ. T ϕ אבל: (σ ϕ) (σ ϕ )) (σ זו טאוטולוגיה. שימוש כפול בכלל הניתוק יתן לנו הוכחה של σ מ T. בסתירה להנחה ש T ספיקה ולטענה הקודמת. מסקנה 9.8 לכל תורה T יש קבוצת פסוקים T T כך שלכל פסוק ψ או T ψ או.T ψ הגדרה 9.9 תורה T המקיימת לכל פסוק ψ או T ψ או T ψ נקראת שלמה. הוכחה: (של המסקנה) תהי T אוסף כל קבוצות הפסוקים המכילות את T ביחס לסדר ההכלה. קל לבדוק שאם } i T} שרשרת עולה של תורות ב T אז T i T. למה? קומפקטיות (צריך לנמק). לכן לפי הלמה של צורן יש T T T מירבית. לפי המסקנה הקודמת T עונה על הדרישות. 18

10 מערכות היסק המשך הגדרה 10.1 קבוצת פסוקים עקבית T היא שלמה אם לכל פסוק ψ או ש ψ T או ש ψ.t ראינו שאם T קבוצת פסוקים עקבית ומירבית כזו ביחס להכלה אז T שלמה. טענה 10.2 לכל קבוצת פסוקים עקבית T יש קבוצת פסוקים שלמה T T. הוכחה: הלמה של צורן. כדי להשתמש בלמה של צורן יספיק להראות שאם } i T} שרשרת (ביחס להכלה) של קבוצות פסוקים עקביות אז גם T = T i עיקבית. מדוע? אם T σ לאיזו סתירה σ אז יש סדרה ϕ 1,..., ϕ k T שהיא הוכחה של σ מ T. כל ϕ i הוא או אקסיומה לוגית או שייך לאיזה T ji או נובע מאיברים קודמים בסדרה ע י כלל הניתוק. קיים j מירבי כך שלכל i כנ ל או ϕ i אקסיומה לוגית או ϕ i T j או ϕ i מתקבל מכלל הניתוק. ז א ש ϕ 1,..., ϕ k הוכחה של σ מתוך.T j אבל T j עקבית סתירה. משפט 10.3 קיימת מערכת היסק (שבה כלל הניתוק הוא כלל ההיסק היחיד) וכך שמערכת ההיסק חשיבה ומתקיים ש T עקבית אם ורק אם T ספיקה. מסקנה 10.4 [משפט השלמות] נקבע מערכת היסק כנ ל. תהי T קבוצת פסוקים עקבית, ψ פסוק כלשהו אזי T ψ אם ורק אם T. = ψ הוכחה: אם T ψ הראנו שψ T = (שיעור שעבר). בכיוון השני, אם T = ψ אבל T ψ אז T ψ עקבית. לפי המשפט יש M = T ψ בסתירה להנחה. הערה 10.5 המשפט הנ ל שקול לטענה: קיימת מערכת היסק חשיבה כך שלכל ϕ אמיתי לוגית מתקיים ϕ. הוכחה: נניח את המשפט ונוכיח את הטענה. = ϕ מתקיים כי ϕ אמיתי לוגית ומן המסקנה ϕ. בכיוון השני, נניח את הטענה ונוכיח את המשפט. תהי T תורה עקבית. עלינו להראות (בעזרת הטענה) של T יש מודל. נניח שלא. ז א מקומפקטיות יש תת קבוצה סופית = ψ. אז ψשיקרי לוגית. אז ψ אמיתי לוגית. אז ϕ T 0 ϕ שאין לה מודל. יהי T 0 T.T ψ אבל T ψ אז T איננה עקבית. הערה 10.6 ממשפט השלמות נובע ש T שלמה אם ורק אם T = ϕ או T = ϕ לכל פסוק.ϕ דוגמאות לתורות שלמות:.1 יהי M מבנה כלשהו לשפה.L התורה של M היא ψ}.t h(m) = {ψ : M = מהגדרת האמת, אם M = ϕ אז.M = ϕ כלומר h(m) ϕ T ואז ϕ.t h(m) משפט 10.7 (לוונהיים סקולם היורד): יהי M מבנה אינסופי לשפה (בת מניה) L. תהי. M = A + וכך ש L A M M אזי קיים (M של (בעולם A M 19

מסקנה 10.8 נניח ש T תורה בשפה בת מניה ול T יש מודל יחיד עד כדי איזומורפיזם בעוצמה.(Vaught שלמה (סוג של קריטריון T אזי ℵ. 0 אזי אזי יש פסוק ϕ כך שϕ T 1 = T ו ϕ T 2 = T עקביות. הוכחה: נניח שלא. מהמשפט אנחנו יודעים (נשתמש ב = A M i ( M 1 = T 1 ו.M 2 = T 2 קיימים שיש Mכך i M i ש ℵעבור 0 = M i = 1, 2.i אבל M i = T ולכן.M i = T לכן M 2 = ϕ אבל M (זאת 2 = M 1 ההנחה). לפי משפט האיזומורפיזם M 1 = ϕ M 1 = ϕ M 1 = ϕ וגם M 2 = ϕ M 2 = ϕ סתירה. מסקנה 10.9 1. תהי T התורה בשפה הריקה (ז א שוויון בלבד) שאומרת שהעולם אינסופי. זו תורה שלמה. 2. תהי { } = L ו DLO היא התורה של סדר קווי צפוף ללא קצוות. אז DLO תורה שלמה. 3. הגרף המקרי (שנתנו אקסיומטיזציה שלו בתרגיל 1 שאלה 2) הוא קטגורי ב ℵ 0 (כלומר כל מודל אחר של התורה בעוצמה ℵ 0 איזומורפי לו) לפי תרגיל 2 שאלה 5. 11 מכונות טיורינג תזכורת: תורה T שלמה אם לכל פסוק ψ או T ψ או T ψ אם T קטגורית ב ℵ 0 (כלומר, יש לה מודל יחיד עד כדי איזומורפיזם שעוצמתו ℵ) 0 ול T אין מודלים סופיים אז T שלמה. C מחלקת הפונקציות החשיבות: פונקציות חלקיות (דטרמיניסטיות) ניתנות לתיאור סופי הקלט הוא מספר טבעי או סדרת סופית של טבעיים חלוקה לשלבים, בכל שלב מתבצעת פעולת חישוב אלמנטרית כל שלב בחישוב יכול להשתמש בתוצאות חישוב קודמות זיכרון זיכרון לא חסום בגודלו, אך בכל שלב בחישוב נעשה שימוש בחלק סופי בלבד של הזכרון בכל שלב של החישוב כמות סופית של אינפורמציה מספיקה כדי לתאר את מצב החישוב 20

הגדרה 11.1 יהיו S א ב סופי עם תו מיוחד B, ו Q קבוצה סופית (זרה לS ) שנקרא לה קבוצת המצבים הפנימיים עם מצב התחלתי q. 0 פקודה זו רביעייה q,r,q,x כאשר I כאשר M = I, S, q 0, Q מכונת טיורינג זו רביעיה.x {L, R} S,q, q Q,r S קבוצה סופית, חסרת סתירות של פקודות. (הערה: I חסרת סתירות אם rqxq, rqyq I אז y = x ו q (.q = נחשוב בצורה גרפית על מ ט כעל סרט אינסופי המחולק לאינסוף תאים. בכל תו של הסרט כתובה אחת מאותיות הא ב כאשר על B נחשוב כעל תו המייצג תא ריק. למכונה יש ראש קורא שנמצא תמיד על אחד התאים. הראש הקורא יכול לזהות מהו התו הכתוב בתא בו הוא נמצא. לפי המצב הפנימי של המכונה ולפי הנקרא, יכול הראש הקורא לזוז ימינה ושמאלה תא אחד או לכתוב תו אחר בא ב באותו התא, ולעבור למצב פנימי חדש. על פקודה נחשב כאומרת: אם הראש הקורא רואה תו r והמצב הפנימי הוא q אז אם {R x,l} זוז ימינה או שמאלה תו אחד ועבור למצב פנימי q. אם x S כתוב בתא הנוכחי x ועבור למצב פנימי q. לומר שI היא סדרת פקודות חסרת סתירה זה פשוט לומר שI היא פונקציה חלקית: R}).S Q Q (S {L, הגדרה 11.2 1. מצב m של מכונת טיורינג T שו שלשה (h,n),q כאשר: (א) n Z מציין את מיקום הראש הקורא ביחס למיקום ההתחלתי = 0 n. (ב) q Q המצב הפנימי של המכונה (ג) h : Z S פונקציה המתארת מה כתוב בכל תא של הסרט. 2. בהינתן מ ט T ומצב m של המכונה נגדיר את המצב העוקב לm לפי המכונה T להיות ) h m (T ) = (n, q, כאשר: (א) h) m = (n, q, ויש פקודה rqxq I כך ש( h(n r = ו q הוא אותו מצב פנימי n x S (ב) אם (א) מתקיים אז n = n + 1 x = R n 1 x = L x אם y = h(n) כאשר h (m) = { h(m) y (ג) אם (א) מתקיים אז q q = m n (ד) אם (א) מתקיים אז m = n. x S אם y = ו x {L, R}.3 ריצה של מ ט T זו סדרה של מצבים..., 2 m 0, m 1, m המקיימת: (א) ) 0 m 0 = (0, q 0, h לאיזו h 0.m i = m (T ) (ב) לכל > 0 i מתקיים i 1.4 ריצה של מ ט T נקראת סופית (או מסתיימת) אם היא מהצורה m 0, m 1,..., m n M n אינו מוגדר. לאיזה n N ו ) (T 21

הגדרה 11.3 בהינתן מ ט T ומספר טבעי n נגדיר פונקציה (חלקית) f n T = Nn N באופן הבא: = 0,n, q = q 0 והסרט נראה כך:...BB1...1 }{{} B1...1 }{{} B...B1...1 }{{} BB... 1+x 1 1+x 2 1+x n מתקיים ) n m = f n T (x 1,..., x אם ריצה של T עם המצב ההתחלתי הנ ח מסתיימת (אחרת לא מוגדר) ו m היא מספר האחדות על הסרט בתום הריצה. הגדרה 11.4 פונקציה f : N n N נקראת חשיבה ע י מ ט אם קיימת מ ט T כך שf f, T n = כלומר f מוגדרת בדיוק באותו התחום בו ft n מוגדרת ובכל מקום שהן מוגדרות.fT n(x 1,..., x n ) = f(x 1,..., x n ) 12 מכונות טיורינג המשך הגדרה 12.1 תהי f : N k N פונקציה f נקראת חשיבה (ע י מכונת טיורינג) אם קיימת מכונה T כך שלכל (n 1,..., n k ) N k הריצה של T על סרט מהצורה...BB1...1 }{{} B1...1 }{{} B...B1...1 }{{} BB... 1+n 1 1+n 2 1+n k מסתיימת אם ורק אם ) k f(n 1,,... n מוגדר ובמקרה זה מספר האחדות על הסרט בתום הריצה הוא ) k.f(n 1,..., n ft להיות הפונקציה שעבור קלט כנ ל תזכורת: סימנו, בהינתן מ ט T את הפונקציה n מחזירה את מספר האחדות בריצה סופית של המכונה (על הקלט). טענה 12.2 לכל מכונת טיורינג T יש מכונת טיורינג T כך ש: n לכל f n T = f n T.1 2. בא ב של T יש שני תווים מיוחדים,S E כך שבכל ריצה מסתיימת של T (על קלט תקני) הסרט לאחר הריצה נראה כך:...BBS111...1EBB... 3. המכונה מעולם לא עברה במהלך הריצה את התא המסומן בS שמאלה 4. פרט לE,S ל T יש רק את התווים {B,1}..2 לכל מצב פנימי ) Q(T q יהיה במכונה T מצב פנימי.q כל פקודה ) I(T rqxq נחליף בפקודה ) x(q.rq נוסיף ל T את הפקודות הבאות: הוכחה: כותב S משמאל לקלט וחוזר ימינה Bq 0 Lq 1 1q 0 Lq 1.1 22

Bq 1 Sq 2 Bq 2 Lq 3 מטפל בהגעה לסוף הקלט, כותב E וחוזר להתחלה Bq 3 Rq 4 Bq 4 Lq 5 Bq 5 Eq r r q r Lq ) זה או B או (1 Sq r Rq0 שלב הסריקה 1q 3 Rq 3 1q 4 Rq 3 נותר להבטיח שכל האחדות צמודות ושהמכונה יודעת מה לעשות במקרה שהיא נתקלת בS או בE בשלב הריצה. נטפל קודם בחלק השני, לכל מצב פנימי q נוסיף פקודות: Sq B q 1 B q 1 L q 2 B q 2 S q 3 S q 3 Rq באופן אנלוגי מטפלים בE נטפל כעט בלהבטיח שכל האחדות צמודות. נניח שכל ריצה מסתיימת של T מסתיימת במצב פנימי qˆ (שאינו מופיע במהלך הריצה של T). נוסיף פקודות: E) הינו כל תו שאינו (כאשר ˆqRˆq E ˆqBq w Bq w Lqw 1 (S הינו כל תו שאינו 1 ואינו (כאשר qwe 1 ˆq נטפל במקרה שראינו Sאחרי שמחקנו את E: Sq 1 weq s w Eq s wlq s1 Bq s1 מצב סופי w Sq s2 w w 1qwEq 1 w d 1qwLq d w d d qw1ˆq (כאשר כל תו שאינו S או 1) Sqw1q d w s 1qwLq s w s1 וגם: 23

3. הטיפול דומה לזה של הסעיף הקודם, פרט לטיפול במה קורה כאשר פוגשים S. כל פעם שהמכונה פוגשת S היא תיכנס ל תת מכונה שמזיזה את כל הסרט שעד E ימינה בתו אחד, כותבת B במקום הראשון שמימין ל S וחוזרת לריצה של T. הדבר היחיד שצריך להשתכנע: יש מכונה Sh שבהינתן קלט מן הצורה...BBS...EBBB... מעתיקה את כל הקלט בהזזה של תא אחד ימינה. נוסיף לא ב שלנו תו מיוחד B, המכונה תרוץ באופן הבא: (א) תסרוק עד שתגיע לE i סדרת q. α B) יהיה מצב פנימי (ב) לכל תו α בא ב המקורי (כלומר שאינו הפקודות: αq w B q α Bq α Lqα 1 B qααq 1 w n i מעתיקה את התו α תו אחד מימין למקומו המקורי. צריך טיפול נפרד בתווים,S E אבל אין בעיה. 4. אם בא ב שלנו יש n תווים נבנה מכונה T שבה התו ה i בא ב של T ייוצג ע י 1...11. קל לבדוק שכל פקודה מהצורה זוז ימינה או }{{} BB...B }{{} n יה של תאים זוז שמאלה ב T ניתן לתרגם בקלות לפקודה זוז n תווים ימינה/שמאלה ב T. פקודה מהצורה כתוב את התו הi בא ב בתא הנוכחי תתרגם לסדרה של n פקודות 1...11. כנ ל }{{} BB...B }{{} כתיבה כתוב במקום הn יה שאתה נמצא בתחילתה את הn יה i 1 אז BB...B }{{} n 1 n i לגבי הקריאה. לא קשה לבדוק: אם נייצג את התו 1 בא ב של T ע י.n לכל f n T = f n T מעכשיו נניח שכל מכונת טיורינג שנעבוד איתה מקיימת את התנאים. 2,3,4 לפי 1 אם מה שמעניין אותנו זה מחלקת הפונקציות הניתנות לחישוב ע י מכונת טיורינג הרי שהנחה זו אינה משנה את המחלקה. בנוסף נניח שלכל מכונת טיורינג יש מצב מסיים יחיד שאינו מופיע במהלך הריצה. עוד אפשר להניח שבסיום הריצה הראש הקורא נמצא תו אחד מימין ל S. טענה 12.3 נניח ש N f : N ו g : N N חשיבות טיורינג אז גם f g חשיבה טיורינג.. g T g לכל מצב פנימי של f במכונה = g וגם f T f הוכחה: תהינה T f, T g מכונות כך שf = החדשה יהיה מצב פנימי q. אז המכונה של ההרכבה תהיה: 1. רשימת הפקודות של T. g 2. מוחקים את S, וכותבים במקומו 1, מוחקים את E, חוזר להתחלה ועובר למצב פנימי q 0 3. רשימת הפקודות של T f עם השינוי שכל פקודה מהצורה q q 1 משתנה לפקודה מהצורה 1 q. q 24

טענה 12.4 משפחת הפונקציות החשיבות טיורינג סגורה תחת אופרטור מיזער : { a ( ) µ x1 (g(x 1,..., x n )) = undef ined else כאשר * הינו תנאי שנגדיר בשיעור הבא... 13 פונקציות חשיבות ראינו שהפונקציות הבאות חשיבות טיורינג: 1 הפונקציה הקבועה 1 0 הפונקציה הקבועה 0 y x + חיבור קל לוודא ש Π n k (x 1,..., x n ) = x k עבור k < n N חשיבה טיורינג (לכל (k, n מה לגבי x? y קודם כל יש לוודא שיש מכונה שבהינתן קלט y מעתיקה את y בסוף הקלט. גם כפל פונקציה חשיבה תרגיל קל. { 1 x < y = (y C? <,x) גם הפונקציה הזו חשיבה (מוחקים כל מה לגבי הפונקציה 0 else פעם תו מתחילת x ומסוף y...) ראינו גם: אם f : N k N m ו g : N m N r חשיבות טיורינג אז גם f g חשיבה טיורינג. f : N k N m חשיבה טיורינג אם הגדרה 13.1 f(x 1,..., x k ) = (f 1 (x 1,..., x k ),..., f m (x 1,..., x k )) וכל אחת מהפונקציות f i עבור i m 1 חשיבה טיורינג. ברור שזה לא מספיק כדי לתאר את כל הפונקציות החשיבות טיורינג משום שכל הפונקציות המתקבלות מן הרשימה הנ ל על ידי מספר סופי של הרכבות הן פונקציות שלמות. כלומר מוגדרות על כל N k עבור k מתאים. לא קשה להשתכנע שיש פונקציות חשיבות טיורינג שאינן שלמות, למשל: 1q 0 Lq 2, Bq 2 Lq 1, q 1 Lq 1 (מכונה שלא עוצרת על חלק מהקלטים על 0 במקרה הזה). טענה 13.2 תהי g(x 1,..., x n ) : N k N פונקציה כלשהי. נגדיר t g(t, x 2,..., x k ) = 0 h(x 2,..., x k ) = µ x1 (g(x 1,..., x k )) = ( z < t)(g(z, x 2,..., x k ) > 0) undef ined else אזי אם g חשיבה טיורינג גם h חשיבה טיורינג. µ נקרא אופרטור ה מיזער. 25

הוכחה: (רעיון) תהי T מכונת טיורינג המחשבת את g (כלומר.(fT k = g מטה רעיון נריץ את T על הקלט,0. x 2,,... x k אם המכונה לא עוצרת זה אומר שg לא מוגדרת ב( (0, x 2,..., x k ולכן גם ) k h(x 2,..., x לא מוגדרת כנדרש. אם הריצה מסתיימת נבדוק האם היא הסתיימה ב 0. אם כן, נחזיר 0 ואז = 0 ) k,0)h x 2,,... x כנדרש. אם לא, נחזור על אותה פעולה עם הקלט,1 x 2,,... x k וכו. אם המכונה הנ ל תעצור אי פעם, זה יהיה הטבעי הקטן ביותר t עבורו = 0 ) k,g(t, x 2,..., x בפרט ) k g(t, x 2,..., x מוגדרת לכל.t < t מתי הריצה לא מסתיימת? בדיוק אם אחד מהבאים מתקיים:.1 קיים t כך ש( g(t, x 2,..., x k לא מוגדר ו 0 > ) k g(t, x 2,..., x לכל.t < t.2 הסעיף הקודם לא מתקיים ו 0 > ) k g(t, x 2,..., x לכל.t ואילו במקומות בהם h לא מוגדרת כך שקיבלנו שיוויון. ביתר פירוט: נבנה מכונה הפועלת באופן הבא. המכונה מסמנת את סוף הקלט בS. בשלב הראשון המכונה T תעתיק את הקלט x 2,,... x k מימין לS ותוסיף 1B בהתחלה. בשלב הבא T תחקה את הריצה של T על,0 x 2,,... x k כאשר היא מקפידה (וזה הרי T עושה ממילא) לא לזוז משמאל לS. אם השלב הזה בריצה הסתיים במקום כלשהו על הסרט מימין לS יהיה כתוב E (כי כך T עובדת). אם בין S לE לא מופיע התו 1, אז T תחזור עד להתחלת הקלט של T (משמאל לS ) תמחק את כל הקלט ותעצור. אם בין S לE מופיע התו 1 המכונה תחזור לתחילת הקלט של T, תכתוב 1 לפני הB הראשון ותתחיל מההתחלה. הגדרה 13.3 פונקציה f : N k N m תיקרא חשיבה/רקורסיבית אם היא מתקבלת מן הפונקציות 0} ), 1, n {x + y, x y, C < (x, y), Π n k (x 1,..., x על ידי מספר סופי של הרכבות והפעלה של האופרטור µ. x במילים אחרות, משפחת הפונקציות החשיבות זו המשפחה/אוסף הקטנ/ה ביותר של פונקציות מ N k ל N m שמכיל/ה את הפונקציות הנ ל וסגור/ה תחת הרכבה והאופרטור.µ x משפט 13.4 פונקציה f : N k N m חשיבה אם ורק אם היא חשיבה טיורינג. הוכחנו שכל פונקציה חשיבה היא חשיבה טיורינג. תרגיל: הפונקציה!n n היא חשיבה טיורינג. { הוכח שהפונקציה חשיבה. שאלה כמעט זהה: מדוע הפונקציה = f(m) n m = 2 n חשיבה? 0 m = 1 or else הגדרה 13.5 תהי A N m אזי χ A = N m N זו הפונקציה המוגדרת על ידי { 1 x A χ A (x) = 0 else A. נקראת הפונקציה המציינת של χ A. הגדרה 13.6 יחס A N m נקרא חשיב אם χ A פונקציה חשיבה. טענה 13.7 משפחת היחסים החשיבים סגורה תחת פעולות בוליאניות, כלומר תחת איחודים, חיתוכים והשלמה. הוכחה: 26

אם A חשיבה אז 1) (x),.χ A (x) = C < (χ A אם A, B חשיבות אז (x).χ A B (x) = χ A (x) χ B (x)) χ A B (x) = C < (0, χ A (x) + χ B או לפי דה מורגן. יוצא, למשל, כי היחס (y A(x, (y = x) חשיב. זה פשוט איחוד היחסים החשיבים.x = ו y C < (x, y) טענה 13.8 (הגדרה לפי מקרים): תהיינה f 1,..., f n פונקציות חשיבות k מקומיות, ו A 1,..., A n n. אזי הפונקציה i=1 A i = N k זרות וחשיבות, כך ש N k f 1 (x) x A 1 f(x) =.. f n (x) x A n חשיבה. n וזו פונקציה חשיבה כי χ Ai חשיבות, f i חשיבות והחיבור הוכחה: (x) i=1 f i(x) χ Ai והכפל חשיבים. 14 פונקציות חשיבות המשך הגדרה 14.1 יהי k+1 A N יחס חשיב, + 1 k מקומי. נגדיר אופרטור: { t t < z µ x (χ A (x, ȳ)) = t µ x<z (A(x, ȳ)) = z else טענה 14.2 אם k+1 A N יחס חשיב אז הפונקציה ȳ)) h(z, ȳ) µ x<z (A(x, חשיבה. הוכחה: פשוט לפי המשפט על הגדרה לפי מקרים [אבל צריך מעט להיזהר כי מה הם המקרים?]. לחילופין אפשר נשים לב ש h(z, ȳ) = µ x (χ A (x, ȳ) C = (x, z)) כאשר,C = (x, z) = 0 x = z וברור שזו פונקציה חשיבה. נשים לב ȳ) h(z, תמיד מוגדרת, כלומר פונקציה שלמה.. מסקנה 14.3 אם k+1 A N יחס חשיב אז היחס ȳ)) B(z, ȳ) ( x < z)(a(x, הוא חשיב. 27

הוכחה: = 1 z).(z, ȳ) B C < (h(z, ȳ), לכן זו פשוט הפונקציה χ B ולפי הטענה האחרונה זו פונקציה חשיבה. מדוע C? < (h(z,,(ȳ (z = χ B כיוון ששתי הפונקציות מקבלות רק ערכים 0, 1 יספיק להראות שלכל ȳ) (z, מתקיים 1 = ȳ) χ B (z, = 1 z). C < (h(z, ȳ), לפי הגדרה χ B (z, ȳ) = 1 ( x < z)(a(x, ȳ)) h(z, ȳ) < z במילים אחרות המסקנה אומרת שמשפחת היחסים החשיבים סגורה תחת כימות חסום. הערה חשובה מאוד: משפחת היחסים החשיבים איננה סגורה תחת כימות (שאינו חסום). מטרה: לבנות פונקציה חשיבה β : N 2 N כך שלכל סדרה סופית n ā = a 1,..., a של מספרים טבעיים קיים cā N (קוד הסדרה) המקיים: β(cā, 0) = n.1.2 לכל 0) β(cā, i מתקיים β(cā, i) = a i.3 (מסיבות טכניות נרצה גם) β(cā, i) < cā לכל 0) β(cā,. i טענה 14.4 (טענת עזר 1) קיימת פונקציה חשיבה P r : N 2 N שהיא חח ע ועל. [יהיה שימושי לשים לב שr P שנמצא מקיימת y}.[p r(x, y) max{x, הוכחה: y) P r(x, יהיה המקום של הזוג (y,x) במספור הזוגות: 0 1 2 3 4 5 6 0 0 1 3 6 10 15 1 2 4 7 11 16. 2 5 8 12 17. 3 9 13 18. 4 14 19. 5 20. 6.. 1 2 לפי התיאור לא קשה לבדוק שהפונקציה הזאת היא פשוט (x + y) (x + y + 1) + x הזה ברור ש:.1 y) P r(x, חשיבה.2 מקיימת P r(x, y) x וגם P r(x, y) y 3. לפי התיאור הגרפי היא חח ע ועל (הוכחה יותר אלגברית מכירים ממבוא ללוגיקה).. טענה 14.5 (טענת עזר 2 משפט השאריות הסיני) יהי m 1,..., m n,n N מספרים טבעיים זרים בזוגות. יהיו k 1,,... k n מספרים טבעיים כלשהם (בד כ מניחים k i < m i אבל זה לא חשוב). אזי קיים b N כך ש b mi k i לכל i n 1. 28

.d= לכל b < d נגדיר n. b = b mod m 1,..., b mod m יש N יות d n הוכחה: ניקח m i כאלה. לכן אם נראה שההעתקה b b חח ע אזי היא בהכרח על (כהעתקה בין שתי קבוצות מגודל.(d נניח ש b 1 = b 2 כלומר b 1 mi b 2 לכל,i כלומר,b 1 b 2 mi 0 בפרט m i b 1 b2 (בה כ (b 1 > b 2 לכל i n.1 לכן b 1 b 2 מחלק את המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ה m. i כיוון שה m i זרים בזוגות המכפלה המשותפת הקטנה ביותר היא d. אבל b 1 b 2 < d וזו סתירה. i=1 טענה 14.6 (טענת עזר (3 לכל n N המספרים i=1 + i (n!)} n 1 }זרים בזוגות. הוכחה: נניח בשלילה שp ראשוני מחלק את i(n!) + 1 ומחלק את j(n!) + 1 לאיזה i. > j לכן: p (i j) (n!). כיוון שp ראשוני הוא מחלק או את i j או את!n. כיוון שn i j < בהכרח p מחלק את!n. אבל p אמור לחלק את i(n!) + 1 וזה לא ייתכן. טענה 14.7 תהי 1)) + y(i γ(z, y, i) = Rem(z, 1 + כאשר ) 2 Rem(t 1, t היא השארית של t 1 בחלוקה ב.t 2 אזי: Rem(t 1, t 2 ) = חשיבה. אבל Rem(t 1, t 2 חשיבה. מדוע? יספיק להראות ש( γ(z, y, i).1.( x < t 2 )(x t 2 = t 1 ) הוא חשיב, למשל ע י t 2 והיחס t 1 µ z (t 2 t 1 z).2 לכל סדרה סופית n a 1,..., a של טבעיים יש y, z כך שלכל < i n 0 מתקיים z לפי טענת עזר 3 קיים.y = k! כלשהו ונבחר k > n מדוע? נבחר.γ(z, y, i) = a i כך ש γ(z, y, i) = a i לכל.i n.3 (טכני) γ(z, y, i) z לכל.z, y, i הפונקציה i) β(b, המבוקשת תהיה i) γ(p r L (b), P r R (b), כאשר (b)) P r L (b) = Π 1 (P r 1 ו (( b ).P r R (b) = Π 2 (P r 1 הדבר היחיד שנותר לוודא P r L, P r R הן פונקציות חשיבות. 15 הצפנות חזרה: אם (y A(x, יחס חשיב אז (ȳ x ) < z)a(x, יחס חשיב. { t µ x (χ A (x, ȳ)) = t, t < z (µ x<z )A(x, ȳ) = z else פונקציה שלמה. הפונקציה גם חשיבה כי היא שווה ל(( z.µ x (χ A (x, ȳ) C = (x, נאמר שN β : N 2 מצפינה סדרות סופיות אם לכל סדרה סופית n a 1,..., a יש.β(ā, i) = a i 1 מתקיים 1 n ולכל β(ā, 0) = כך שn ā N לN. היא חח ע ועל מ N 2,x) (y P r (x+y) 2 +(x+y) 2 טענה 15.1 הפונקציה + x b mi טענה 15.2 לכל m 1,..., m k זרים בזוגות ולכל a 1,..., a k טבעיים יש b N כך ש a i לכל i. 29

טענה 15.3 לכל n N המספרים n(n!) + n!, 1 + 2(n!),..., 1 + 1 זרים בזוגות. טענה 15.4 נגדיר 1)) + y(i γ(z, g, i) = Rem(z, 1 + מקיימת:.1 γ חשיבה.2 לכל סדרה סופית n a 1,..., a קיימים z, y כך שלכל i n 1 מתקיים = i a γ(z, y, i) γ(z, y, i) z.3 לפי טענה 3 מתקיים כי max{a i, n} n i=1 וניקח k!. y = לגבי 2 ניקח את < k (1 + y(i + 1 זרים בזוגות. לפי הטענה השניה יש z שעונה על הדרישה. ביתר דיוק, יש אבל בעצם 1)) + y(i a i = Rem(z, 1 + כי.z i+y(i+1) a i z כך שלכל i מתקיים.a i < 1 + y(i + 1) טענה 15.5 הפונקציה i) β(y, i) = γ(p r L (y), P r R (y), היא פונקצית זיווג חשיבה כאשר. P r R (y) = Π 2 P r 1 ו( y ) P r L (y) = Π 1 P r 1 (y) הוכחה: מטענה 4 ברור כי (i β(y, מצפינה סדרות סופיות. בהינתן סדרה סופית n a 1,,... a טענה 4 סעיף (2) מבטיחה t 1, t 2 N כך ש γ(t 1, t 2, i) = a i לכל i n.1 נחליף את הסדרה בסדרה n, n, a 1,..., a נמצא t 1, t 2 כמובטח ונגדיר ) 2 y = P r(t 1, t אז = 0) β(y, γ(t 1, t 2, 0) = n וגם.β(y, i) = γ(t 1, t 2, i) = a i נשאר רק לוודא שβ חשיבה. מספיק לוודא ש( y ) P r 1 היא חשיבה ומלאה/שלמה. הפונקציה שלמה כי P r היא על. הפונקציה חשיבה פשוט כי Π 1 (P r 1 (y)) = µ t1 [( t 2 )P r(t 1, t 2 ) = y] = µ t1 (( t 2 < y)p r(t 1, t 2 ) = y) מעתה ועד עולם נקבע פונקציה β כנ ל. הגדרה 15.6 נאמר שx מצפין סדרה סופית אם אין x < x כך ש( 0 β(x, β(x, (0 = ולכל.β(x, i) = β(x, i) מתקיים i β(x, 0) טענה 15.7 היחס θ(x) האומר x מצפין סדרה סופית הוא חשיב. הוכחה: i). θ(x) = ( x < x)[i β(x, 0) β(x, i)] = β(x, ft חשיבה. נקבע מטרתנו, כזכור, להוכיח שבהינתן מכונת טיורינג T וN n הפונקציה n אחת ולתמיד מכונת טיורינג T וN n ונראה כיצד למצוא פונקציה חשיבה שזהה ל.fT n נזדקק להרבה טענות עזר. כיוון שאנחנו מעוניינים רק ב ft n ולא במכונה עצמה אז אפשר לשנות את T איך שנרצה כל עוד לא נשנה את הפונקציה שהיא מחשבת. לכן, בה כ, T מכונת טיורניג תקנית: 30

1. הא ב של T כולל רק את {B,1} ונק ההתחלה והסיום {E,S}. 2. למכונה יש מצב פנימי יחיד qˆ שכל ריצה מסתיימת מסתיימת בו, וq ˆ אינו מופיע במהלך הריצה. 3. בתום הריצה הראש הקורא נמצא על S ובין S לE יש רק אחדות. מכיוון שמספר המצבים הפנימיים של T סופי לא יזיק להניח ש{ B,1} מיוצגים ע י המספרים הטבעיים {0,1} בהתאמה ו{ E,S} ע י {3,2} בהתאמה והמצבים הפנימיים מיוצגים ע י.k ע י מיוצג מיוצג ע י 4 וq ˆ כאשר q 0 {4,..., k} כזכור, מצב של T זו שלשה h,n,q כאשר n המיקום של הראש ביחס לS שמיקומו 0, q המצב הפנימי, ו { 3,0},1,2 Z h : מתארת את התאים במכונה. כמובן יספיק להניח שh מתארת רק את המספר הסופי של התאים שבין S לE. אפשר לתאר מצב ע י סדרה מהצורה הבאה: α 1, α 2,..., α n, q, α n+1,..., α r כאשר = 3 r α 1 = 2, a ולכל < i < r 1 מתקיים 1} {0, i.a טענה (1) 15.8 היחס ϕ(x) האומר x מצפין מצב של המכונה T חשיב. הוכחה: היחס יתואר ע י חיתוך של הדרישות הבאות: 1. θ(x) היחס האומר שx מצפין סדרה..2 לכל 0) β(x, < i 0 מתקיים k} β(x, i) {0,..., β(x, β(x, 0)) וגם = 3 β(x, 1) = 2.3.4 קיים 0) β(x, < i 0 יחיד כך ש{ k.β(x, i) {4,..., כיוון שכל אלה חשיבים גמרנו. טענה (2) 15.9 היחסים (x) ϕ, s x מצפין מצב התחלתי של T, x מצפין מצב סופי של T כולם חשיבים. הוכחה: (x) ϕ S זה חיתוך של ϕ(x) עם הדרישה הנוספת ש 4 = (2.β(x, ϕ E (x) כנ ל עם.β(x, 2) = k טענה (3) 15.10 היחס (y ϕ(x, האומר y,x מייצגים מצבים של T וy המצב העוקב של x לפי T הוא יחס חשיב. הוכחה: זה כמובן חיתוך של התנאים ϕ(y) ϕ(x), עם התנאי הנוסף שy המצב העוקב לx. לכל ) I(T p (לכל פקודה של (T נגדיר יחס y) ϕ p (x, האומר x, y מצבים של T ו y עוקב של x לפי p ובפרט x מצב רלוונטי לפקודה p. x מצב רלוונטי לפקודה p זה פשוט ϕ(x) וגם אם > 3 i) β(x, ל 1 > i אז p פקודה מהצורה i).β(x, i 1)β(x, במילים אחרות אם p היא הרביעייה q α, q, α, אז x רלוונטי לp אם.β(x, i 1) = α, β(x, i) = q נסמן זאת (x) ϕ. p לומר שy עוקב של x לפי p זה לומר ϕ(y) ϕ p (x).ϕ(x), עכשיו מתחלק לפי מהות הפקודה.p נטפל למשל במקרה ש q p = α, q, α, כאשר 1} {0,.α מתי y יתקבל מx ע י הפקודה?p אם k.x = α 1,..., α i, q, α i+1,..., α k, y = α 1,..., α i, q, α i+1,..., α פשוט צריך לדרוש: 31

.1 נסמן i 0 להיות הi היחיד כך ש( 0 β(x, i ו { k.β(x, i 0 ) {4,...,.2 נדרוש ש α β(y, i 0 ) = q, β(y, i 0 1) = ובכל מקרה אחר j).β(y, j) = β(x, הטיפול בפקודות של תזוזה הוא דומה. זה מקרה ש( y ϕ p,x) חשיבה. לומר שy עוקב. ϕ(x) ϕ(y) p I של x זה פשוט y) ϕ p (x, טענה (4) 15.11 היחס ρ(x) האומר x מקודד ריצה מסתיימת של T הוא חשיב. הוכחה: 1. θ(x) x מצפין סדרה. T. הוא מצב התחלתי של מצפין כלומר האיבר הראשון בסדרה שx ϕ S (β(x, ((1 2. T. האיבר האחרון בסדרה הוא מצב סופי של ϕ E (β(x, β(x, (((0 3..4 לכל 0) β(x, i < 1 מתקיים 1)) + i ϕ(β(x, i), β(x, כלומר כל איבר בסדרה הוא מצב עוקב של המצב המוצפן ע י האיבר הקודם לו. טענה (5) 15.12 n f E (x) = זו הפונקציה שמחזירה n אם x מצפין מצב סופי של T וn הפלט של המכונה במצב זה. 0 אחרת. זו פונקציה חשיבה: 3) 0) (β(x,. χ ϕe (x) 16 חשיבות היינו בעיצומה של ההוכחה שכל פונקציה חשיבה טיורינג היא חשיבה. טענה (1) 16.1 היחס ϕ(x) האומר x מצפין מצב של המכונה T חשיב. טענה (2) 16.2 היחסים (x) ϕ, s x מצפין מצב התחלתי של T, x מצפין מצב סופי של T כולם חשיבים. טענה (3) 16.3 היחס (y ϕ(x, האומר y,x מייצגים מצבים של T וy המצב העוקב של x לפי T הוא יחס חשיב. טענה (4) 16.4 היחס ρ(x) האומר x מקודד ריצה מסתיימת של T הוא חשיב. 32

טענה (5) 16.5 n ϕ E (x) = זו הפונקציה שמחזירה n אם x מצפין מצב סופי של T ו 1 n הפלט של המכונה במצב זה. 0 אחרת. זו פונקציה חשיבה: (3 (0 (β(x,. χ ϕe (x) נדרוש ש 0 = (x) ϕ E אחרת. טענה 16.6 היחס x מקודד מצב התחלתי של T שבו הקלט הוא x 1,,... x n הוא יחס חשיב. נסמן זאת ) n.ϕ s (x, x 1,..., x כדי להוכיח את המשפט עלינו להראות ש( f n T x),1,... x n פונקציה חשיבה. נגדיר פונקציה חשיבה באופן הבא: f(x 1,..., x n ) = ϕ E (µ x(ρ(x) ϕ s (ϕ s,0 (x), x 1,..., x n ))) כאשר 1) β(x, ϕ s,0 (x) = האיבר הראשון בסדרה שx מקודד, וכאשר y)) µ x(a(x, זה הx המזערי עבורו = 1 y).χ A (x, טענה ) 16.7 n f(x 1,..., x n ) = f n T (x 1,..., x ובפרט f מוגדרת אם ורק אם ריצת T על x 1,..., x n עוצרת. הוכחה: ראשית נבדוק שתחומי ההגדרה של שתי הפונקציות זהים. אם T עוצרת על x 1,..., x n אז קיים x כך ש(( ρ(x) ϕ s (ϕ s,0 (x 1,..., x n כלומר קיים x המקודד ריצה מסתיימת של T המתחילה בקלט x. 1,,... x n אם נבחר x 0 הקטן ביותר המקיים זאת אז x 0 = µ x(ρ(x) ϕ s (ϕ s,0 (x), x 1,..., x n )) כי לכל x < x 0 הפונקציה χ ρ(x) χ ϕs מוגדר ולכן מהגדרת האופרטור,µ x ואז f(x 1, x n ) = ϕ E (x 0 ) def = f n T (x 1,..., x n ) נניח ש T אינה עוצרת על x 1,..., x n אז ) n ρ(x) ϕ s (ϕ s,0 (x), x 1,..., x לעולם אינו מוגדר ולכן הפונקציה )) n µ x(ρ(x) ϕ s (ϕ s,0 (x), x 1,..., x אינה מוגדרת. עד עכשיו קודדנו מצבים וריצות של מכונות טיורינג, אבל אין סיבה לא לקודד גם את המכונות עצמן. מכיוון שאנחנו מתעניינים רק בפונקציות החשיבות (טיורינג) ולא במכונות עצמן, אפשר לזהות מכונת טיורינג עם רשימת הפקודות שלה. ומכיוון שהא ב סופי ורשימת הפקודות סופית (וכבר זיהינו את הא ב עם המספרים הטבעיים {k..0}). אם רק נוסיף לזיהוי הזה את + 1 k כפקודה L ואת + 2 k כפקודה R נוכל לקודד את המכונה על ידי מספר טבעי. נקבע פעם אחת ולתמיד קידוד של כל מכונת טיורינג, ולמכונה T נסמן T את הקוד של T. אם e N הוא קוד של מ ט נסמן T e את המכונה ש e מקודד. יהיה נוח להניח שאם n N אינו מקודד מ ט אז נחליט שe n מקודד את המכונה שאינה עוצרת על אף קלט. משפט 16.8 לא קיימת פונקציה חשיבה f : N N כך ש { 1 T e halts on input 0 f(e) = 0 else 33